CHAPITRE IV. — SOMMATION DES. SÉRIES. 5t

Démon$lration. Représentons par <p(/i) le premier membre; noos aurons

Par de simples considérations géométriques, ou par les premières notions sur les dérivées, on trouve

f{x+h)=f’{x)+hf"{x+6h),

r{x-h)=r(x)-hr{x-B,h) o,

6, d, étant des quantités comprises entre 0 et 1. Conséquemment

^'(h)=Hr(x-~$,h)-r(x-hSh)];

ou, d’après l’une des hypothèses précédentes,

La fonction if(h) est donc croissante. D’ailleurs, elle s’annule avec h/ donc, etc.

83. CoROLLAiBK I. Lcs points A, B, C ayant pour abscisses x — A, X, x+h, l’angle aigu formé par la tangente TBS et par l’aie 0® est plus petit que l’angle aigu formé par cet axe et par la corde AC.

En elTet, l’inégalité précédente équivaut à

84. CoBOLLAiRE II. Si, par les points A, B, C, on fait passer une parabole dont l’axe soit parallèle à Og, la partie de cetle courbe située

(’) Chacune de ces inégalités eiprime ce Tait géométrique ; La droit* quijoml Us tt- IrfmUs (f un arc d» courte est paraUile à la tangente m un certain point de cet arc.

entre A et B sera au-dessus de AB, et l’arc de la même courbe, situé entre B et C, sera au-dessous de BC (').

8iS. Théorème XXII.

Démonslration. 1“ te second corollaire donne (“) <F(a+2)-F(a+l).

d'où, en ajoutant et réduisant,

2“ Le même corollaire donne aussi :

^ Mg >F(a+3)— F(a+2),

etc.

86. Remarque. L’erreur qui résulte de l’emploi des formules (E) est inférieure à

(*) Pour abri^ger, nous supprimons la démonslralion : clic ne présente aucune dilficullc si l’on a égard au» hypothèses ci-dessus (8î), cl si, au moyen de ia formule d’inlerpo- ' lation de Lagrange, on écrit l'équation de la parabole.

{■*) NouveUes Annales de Mathématiques, t. X, p. *U.