CHAPITRE IV. — SOMMATION DES SÉRIES

S l__l4-lr -+— 1

" p— 1 loi’-' ( 0 -f- n— 1 jP-* I ‘ 2 LaP ' (a+ n— 1 )P J ’

aP-i (a+n-I)P-'

oP'*‘(o+rj-l)P-l"*"8^LaP+‘ (o+n-1)P+* I’

etc. Ces formules peuvent servir à calculer, avec une approximation plus ou moins grande, soit les sommes des puissances semblables négatives d’un certain nombre de termes appartenant à la suite naturelle, soit les limites vers lesquelles tendent ces sommes. Par exemple , les formules (D) donnent

li>l+l + JL+ >t.

95. Remarques. I. On voit que la somme des cubes des inverses des nombres naturels est comprise entre 1 et ^ . Par d’autres méthodes on trouve, pour valeur de cette somme, le nombre 1,202 056 (•).

II. Si, dans les formules du numéro précédent, on changeait p en — p, on pourrait les faire servir, moyennant certaines modifications (“), an calcul de la somme des puissances semblables et positives des nombres naturels (*“). Il est vrai que les résultats seraient généralement peu approchés.

SîgTMiion far le* «értes dtvergenie*.

96. Nous avons fait voir, dans le chapitre II (9), que la somme tC un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs, appartenant à ' une série divergente, peut, dans certains cas, avoir pour limite zéro. A. plus forte raison, celte somme peut tendre vers une limite finie, s’il existe, entre le nombre n de ces termes et le rang a du premier

(•) Lacroji, t. IH, p. J49.

('*) P»r exemple, daus la formule (A) on devrait changer > en <.

("*) Voyez, sur ce sujet, les .SouitUet Annalud» Halhématiquis, t. VX, p. S30.

d'entre eux, une relation œnvenablemenl choisie. Le Théorème XIX entraîne, en eiïet, la proposition suivante :

97. Théoréhe XXIII. Si le twmbre entier n est une fonction donnée du nombre entier a. qui devienne infinie en même temps que a, et si la différence F(a4-n) — F(ii) tend vers une limite X lorsque a croit indéfiniment, on a

lim [/"(a) 4- ^(a •+- J) + 4-/'(a-f- n — 1 )]= i.