CBAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

l’on cherche presque toujours, de préférence à tous les autres. Les propositions suivantes servent à résoudré les questions les plus importantes, relatives à ce genre de développement.

Théorème de Teylor*

103. On sait que, f[x) étant une fonction entière, du degré m, on

a, quel que soit l’accroissement A, '

fix+h)=f{x)+^^r{^)+^^r{^)+

Lorsque f[x) est une fonction quelconque, cette relation doit être modifiée ainsi qu’il suit :

104. TaÊORÈ.ME XXIV (Théorème de Taylor). Si f“'^'(z) reste finie et continue pour toutes les valeurs de z comprises entre x e( x+h, on a

fix+h)=nx)+'ir{x)+^^a^)+

P étant un nombre pris arbitrairement entre 0 et n, et 9 étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1 .

Démonstration. Représentons par R le reste que l’on obtient en retranchant de f[x-\-h) la somme des n+1 premiers termes du second membre : il s’agit de prouver que

En remplaçant a; par a — h, on a d’abord

{*) Celle forme du reste, qui compread les deux formes ordinaires

R= — -/'«+'(iW- 9 A), R=— — /■«-H(x+Wi),

a été donnée par M. Édouard Roche (Journal de LiouviUe, t. XXIII, p. S7J1. Elle est comprise elle-même dans une expression trés-générale, due à M. SchlAmilcb, que nous ferons oonnalUe. '

d’où, en prenniil la dérivée par r, apport à h :

-r(a-h)-îr(«-'')-on«-'*)— •— (“-'o ;

c’est-à-dire

D’un autre côté, l’égalité (3) donne ^

Conséquemment, il s’agit de déterminer la ronction'(p(A), s’il est possible, par la connaissance de sa dérivée et par la condition (5). A cet effet, nous démontrerons d’abord la proposition suivante (').

105. Lemme. Si les fondions f{x), if(*), |'(x) restent finies

et continues depuis x = a jusqu'à x=b, et que la fonction t|>'(x) ne s’annule pas dans cet intervalle, on a

;((()— V'aj + o)]’ '

t étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1,

Démonstration. Soit la fonction

F(x)= [ 9 ( 6 )— <f{a)] <|r(x)— [(Kô)— '|(a)] 9 («) :

d’après les hypothèses précédentes, elle est continue, aussi bien que sa dérivée, depuis x = a jusqu’à x = b. Or,

Par conséquent, F'(x] s’annule au moins une fois, entre x=a et x=b; ou, ce qui est équivalent, l’équation F'(x)=0 a au moins une racine comprise entre o et b. C’est précisément ce qu’exprime la relation ( 6 ) ; cette relation est donc démontrée.