fi(n

Ces deux formes du reste sont très-fréquemment employées.

, IV. Au lieu de supposer la fonction '^(x) égale à x^‘, Inissons-la complètement arbitraire; nous aurons, par les équations (7), (4), (5),

(t— «l’A" ;'[(l-9)til 1-2 n

ou

Dans celle expression Irès-générale du reste de la série de Taylor [‘) , la fonclion arbilraire <|<( 2 ;) esl assujcllie seulemcnl il ces deux condilions : 1° elle doit rester finie cl conlinuc depuis o;=0 jusqu’à x=h; 2° sa dérivée «(''(a:) doit, dans le même intervalle, rester finie, continue et différente de zéro.

Série de Mao-Xaeurtn.

109 . Théoeème XXV. Une fonction quelconque est développable suivant la série de Mac-Laurin :

si la quantité

tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment.

Démonstration. En supposant x=0 dans la formule de Taylor, et remplaçant ensuite la lettre h par la lettre x, on obtient

/(,)=OT+îr(o)+Sn«)+ +r£;«o)+SSffn''“"'('*)‘

etc.

110 . Remarques. 1. L’énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que f[x) et toutes ses dérivées restent Kiiies et continues pour ir=0. Si le contraire arrivait, on remplacerait la formule (4) par celle-ci :

que l'on obtient en changeant ie en a et 4 en Taylor.

a dans la série de

(*) Due k H. SchISmilcb.