CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

II. La série de Mac-Laurin, supposée convergente, peut n avoir pas pour Umite f(x). Pour le faire voir, prenoos

étant nne fonction qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées, pour x=0. Il est facile de reconnaître que la fonction expo-

nentielle e^ et toutes ses dérivées s’annulent avec x. Si donc l’on appliquait la formule (4) au développement de f{x), on trouverait

y(x)4-"/=9(0)-l-f?’(0)+ri?'(0) +

ce qui est absurde.

A^UmUods des Uiéoric* préoéd«atet.

111. Fobmdle DU BfNéME. 1* Si l’on suppose f\x)={'l+xy", la série de Mac-Laurin devient

Elle est convergente lorsque æ est compris entre et — 1(15,111);

mais, afin de savoir si elle a pour limite (l-f-^)"*. ü est essentiel de former l’expression du reste. Or, la formule (10) donne

1) (m— 1 + 1 ) Jl— ffl)iT («+l-tn)x (n—m)x, . 1 .

t étant le nombre entier immédiatement supérieur à m.

Cela posé, si x est positif et moindre que l'unité, le produit

(i— n»)® (i+1— f»)x (n — tn)x

~ Th ~ * 1+2 n +1 ’

dont toDS les facteurs sont inférieurs à (c, a pour limite zéro. En même temps,

litn 77 ^

donc

lim R= 0,

2° Soit /l[ir)=(l— -x)". Alors

Mais, à cause du facteur qui peut être très-f»rand, et

même infini, la valeur de R, employée ci-dessus, n’est plus applicable. Il faut donc recourir à la formule (11). Elle donne

^m(m— Il (m— n)

Le premier facteur diminue encore indéfiniment lorsque n croit. De plus, à cause de , j 3 ^ <Cli le second facteur a pour limite zéro, on du moins il reste inférieur à l’unité ; donc

f»mR=0,