Développemenl de sinx. Oe f{x)=s\ax on déduit

f{x)=cosx, ri^)— — /*"(®)= — cosa:,

P'{x)=s\nx=f[x), p{x)=f'{x) ;

puis

f{0)=0, /'(0)=1, r(0)=0. r(0)=— 1. no)=o ;

donc

*in®— ^ t .2.. . (2n-4) ^ 1 .2. . .(2n+1 ) '

La fraction u pour limite zéro; de plus, cos (Sx) est

compris entre — 1 ct-t-1. Par conséquent,

Sinx— X 2 . 5.45 ^1.2.3...(2n— 1)^ ^ >

quelle que soit la valeur de x.

114. Développemenl de cosx. On trouve, absolument de la même manière,

eosx=l-^^-t-^-f3-^- (G)

115. Remarque. Si, dans le développement de e*, on change x en xP^ — 1, on obtient

jeL|/izî J + ï!

La partie réelle de cette série est égale au développement de cosx.

et les coefGcients de — 1 forment le développement de sinx. On exprime ce résultat par Viqmlion symbolique

cosx+é' — 1 sin X,

dont les conséquences sont excessivement nombreuses (').

116 . Développement de l(l + x). Si, dans la formule de ÎMac-" Laurin, nous supposons /(x) =/(!-+- x), nous aurons

n®)= 1-2(1+»)* nx}=±i.2 (n l)(H-x~)l

puis

par conséquent.

avec

à cause de la formule (5).

Nous savons (15) que la série