CHAPITRE V, —, DÉVEfX)PPEMENTS EN SÉRIES

nité; par conséquent, elle représentera arctgæ si ItmRzrO. Sous sa forme actuelle, on ne voit pas clairement que le reste R jouisse de cette propriété ; mais, si l’on pose

l = pcosX, 5x=psinX, et si l’on a égard à la formule de Moivre (115) :

(cosX+/— 1 sin X)P=cospX+|/ — 1 sinpX, x*+' sinln-t-l)^

on obtient donc

et

lim R=0,

arc‘g*=T~ 5+T-T+’

120 . Remarque. On voit, par cet exemple, que la formule de Mac-Laurin se prête assez difficilement au développement des fonctions algébriques fractionnaires ('). Nous indiquerons bientôt d’autres procédés plus commodes ; mais nous appliquerons encore la méthode précédente à une question particulière.

121 . Phubléme. Développer, suivant les puistancee enlièr et elpo~ silives de s, la fraction

ü — üx+x'’

Solution. Cette fraction se décompose (“) en lorsque x est plus petit que 2 (***) :

Or,

(•) La fonction arc Ig x est iranscendanle; mais il est clair <|uu la difficnlté tigualAe ici lient uniqucmenl à ce que la formule en queslion ne s'applique pas aisément au dé-

veloppemeot de

('•) .Vanucl dês candldali à CÉcoh foly technique, t. p. *15.

("•) En valeur absolue.

et, si X est moindre que 3 :

Conséquemment,

6— 5x-hx‘ ^2

pourvu que la variable x soit comprise entre +2 et — 2 (exclnsivement).

Si, par exemple, on suppose x= 1, on a

« 8én«t réoilrrentet.