CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

* fit) ' *

m. Thëorèiie XXVI. Toute fraction rationnelle est développable suivant tme série récurrente, dont tordre est égal au degré de

Fwn-

Démonstration. 1* Si l’on décompose en fractions simple»,

pourra développer chacune d’elles en série convergente (**^. D’ailleurs, la somme de plusieurs séries tonvergenies est encore^ne série convergente (***); donc la fraction proposée est développable en ime série convergente de la forme (l) .

2® Cela posé, de n \ ^

on conclut *

^a:)=[A,4-A,«-4-A,aî*-f- -l-A,^,®"“'A„Æ"-4».-.]F{a:);

puis, en supposant

et en identifiant les deux membres :

Afl-I- A„,a,-I- +A„»«*=0; (4)

pour n>fc; etc. ( ).

(*) Il est sous-enleDdu qoe la traction est irréduclible; que le degré du dénominateur surpasse celai du numérateur; qu'aucun des deux termes n'est dÎTlsible par a:;etc.

(*') Les fractions de la forme — — produisent des progressions par quotient; les

autres se développent par la formule du binAme (lit),

("*) Pour démontrer rigoureusement cette proposition, il suffirait de considérer la resla des premières séries.

(“'*] Tout ceci suppose, bien entendu, que x est compris dans deux limites convenables.

(*”") On voit que nous traitons la série convergente contenue dans le second membre de l’éqnatioa (3) comme Un véritable poljnAme. Pour légitimer complètement cette manière d'agir, on pourrait poser

fix)

=7-:=A«-i-A,x-|-A,aA+- +Awe>M-pi,+i(x)a:«+>,

en représentant par pm.i(x) une fancUon qui ne dement pas in/lnie pour z=0 ; ceci résulte du fait de la division de f(x) par F(æ).

12i{. Thbobéme XXVn. Réàproqaemml, touU série réeurrente convergente, de la forme (1). a pour limite une fraction rationnelle

rf-Si.m-ia*-'

dans laquelle représente la somme des k premiers termes de la série. Démonstration. En faisant, dans l'équation (2),

n = k, n = ft-t-l, n=:k-\-2, n =

on obtient

A* ic* -+-A,

At 4 .jX*^+A*+,ic*+' .a,aî+ -I-A,a;’.a*a^=0,

Ces égalités donnent

(S»+;4.| — 8*)+ (S»+/ — S(t,)«,a5-4- -4* S(+, . «nÆ*= 0 ;

puis, comme les sommes 8*.+.;^.,, S/^., ont, par hypothèse,

une même limite S :

-t-ix*!*

Applie«ii«»».