Pbobléhb IV. Développer puis

sances de X."

Solution. Le développement commence par 1+cosd. D’ailleurs, l’échelle de relation étant

A„ — 2 A„, cos 8 4- A„jz= 0 ,

A„= A,|., 2cos 8— A„.. 2 ,

il en résulte qu’un terme quelconque du développement cherché etl égal à la somme des deux termes qui le précédent, respectivement multipliés par 2cos8 et par ( — 1). D’après les formules de Thomas Simpson, les cosinus des multiples de $ procèdent précisément suivant cette loi. Donc, à cause de

A,= l, A,= cos9,

nous aurons

A,=cos28, A,=cos39, A„=cosn9,

et, par conséquent,

-Ha;c'os6-ha;*cos 29 +æ*cos 39+ +a^cosn9+...„,

pour les valeurs de x comprises entre — l et -|-1 (exclusivement).

132. Remarque. Si, dans la dernière formule, on suppose x=cos9, on trouve cette relation assez remarquable :

cos29+cosâcos39+cos*9cos49+ -4-cos"~‘9cos(n+l)9+ == — 1 (**).

(’) Cependaol, si l'on appelle a, S, c les trois racines de ceue cqualioo, on trouve, par un calcul que nous supprimons :

A«=- — r-a"H — T— ri" H c».

ïa-1-3 ïi-l-S «+3

(”) Elle est en défaut lorsque costc=±i (sa).

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133. PauBLÈME V, Trouvtr la fraction génératrice de la série récurrente

1 — x+x* — 2x’+5a:* — lla:*+23a:' — 48x’+ lOla^ —

dans laquelle

Solution. Cette fraction a la fornoe — (*).

D'ailleurs, si l’on multiplie par l + 2a: — x* les premiers termes de la série, et qu’on identifie le résultat avec a-\-bx-\-cx*+dx', on obtient

Par conséquent, pour des valeurs de x suffisamment petites (*'),

1 — x+x’ — 2x’-l-5x* — =rrT~^-

1 + 13:— ar

n La série élant riguUire S partir de næi, le nunicraleiir de la fraction génératrice est uii pnlynftme du troisième degré, on d'un degré Inférieur. Si l'échelle de relation n’était applicable qn'S partir de is=p, le degré dn numératenr sertit p— t, an plat.

(") Cette restriction, sur lai|tiulle on ne saurait trop insister, doit être faite toutes les fois que l'on essaye de développer une fonction en série. Faute d'y avoir égard, on arrive i dos résultats du genre de ceux que nous avons indiqués au commencement de ce Traité (i).

Si, par exemple, on supposait a;= t dans la dernière équation, on trouverait