III. La série

, , g+c , fa+c)(2a+c) , (g+c). . .(n— 1 o+c)

h+c (6-Hc) (26+C; (fc+c). . .(n — I 6+c)

dans laquelle a, b, c sont des quantités positives, est convergente si a est inférieure à b. Dans le cas contraire, elle est divergente.

(•) Par exemple, ainsi qu’on le verra plus loin, la série

est convergent», cl la série ,

est divergmte.

(“) 1.3 somme de celle série, ordinairemenl désicnée par la lellrc », est la base des losarilhmes népériens.

•"'*) Eile a pour somme

8 lïRAlTÉ ÉLÉMENTAIRE DES SERIES.

En cflét, dans le premier cas, les termes sont, à partir du troisième, respectivement moindres que ceux de la progression décroissante

. >+s+rÆ)'+ +(s-:)'+

'etc.

^ Réglet de oonvergencc.

• TnKORÉMB V. Une série est convergente si, à partir d’un certain rang, le rapport d’un terme au terme précédent, pris en valeur absolue, est constamment inférieur à un nombre donné, moindre que l’unité.

Démonstration. D après le Théorème IV, il suffit de considérer le cas où tous les termes sont positifs. Or, si Ton a

a. étant une constante positive, inférieure à l’unité, il en résulte que les termes

sont respectivement moindres que les termes de la progression décroissante

a“n. a’tfn ’

Et comme cette progression forme une série convergente, il en est de même pour la série proposée.

14. Remarques. I. Ordinairement ce théorème peut être énoncé ainsi : Une série est convergente, si le rapport d'un terme au terme précédent , pris en valeur absolue, tend vers une limite moindre que t unité.

• II. Cependant la première proposition est plus générale que la seconde ; il peut arriver, en clîet, que le rapport ^ n’ait pas de

Mn *

(■) A cause de

»a+c a+c nt-fc'^6 + c‘