CHAPITBE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

134 . ! Problàmi VI. Reconnatire si une série est ricurrtnte.

Solution. Supposons que, dans la série proposée :

Aj-I-A,a:4-A,x*+ +A„®"+.,..., (1)

le coefücient A. soit une fonction donnée de n ('), savoir : ».

An=?(»)- (2)

si la série est récurrente, elle a pour somme une fraction inconnue

^,(125). Or.

(6— (c — xY

en supposant

Si les diverses fractions simples

B- Cy

(6— x)* ’ (c— xp’

étaient données, on pourrait les développer par la formule du binéme, et l'on aurait, par exemple,

B. B, Tl I « i i. . (i+n— ]

Mais, par la théorie des combinaisons,

donc le coefficient de ^ , dans ® valeur

B, , B, n4-l , B, (n+l)(n-4-2) ^ ^ Bp fn-)-l)(n4-2) («-4-p — 1)

c’est-à-dire un« fonction entière de n, dont le degré ne surpasse pas

ü'un autre cété, une fonction entière de n, du degré (p — 1), est toujours décomposabte suivant la forme (3) , c’est-à-dire que, ij»(n)

n Celle manière d’entendre la qneslion est la seule qol nous paraisse admissible.

étant cette fonction, on peut déterminer les coefficients B,, B, Bp

de manière à avoir, identiquement,

B, . B, n+t Bp (n-(-l)(fH-2).'....(n+p— 1) , , . ...

Par suite, pour que la iérie (1) soif ricurretile. U faut et il suffit que Von ait

A„= B6-»+ Ce-" -t- + Gg~”,

b, c, g étant des constantes, et B, C, , G étant des fonctions

entières de n C‘).