CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

R««beTobe do développement d'une fonotloUf en moyen do développement de la fonction dérivée.

136. Théobèmb XX Vin. Si, pour loutes les valeurs de i comprises enU-e 0 et une quantité positive X (iDclusivemeot) (*), on a

on aura aussi

F(ai)=F(0)+A,x+^A,a:*+ÎA,a:*+ (2)

pour les mêmes valeurs de x.

Démonstration. La série (1) est supposée convergente, c’esUà-dire que

R. représentant une fonction qui tend vers zéro, lorsque n croît indé6niment, et que x est compris entre 0 et X. *

Si l’on prend les fonctions primitives des deux membres, on aura donc

F(x)=F{0)+A,x+1a.x*+Îa,x'+ +iA„x"+ 9 (x,n), (4)

en désignant par 9 (x,n) une fonction qui a pour dérivée R„ , et qui s’annule avec x (**). *

Cela posé, cette fonction peut être regardée comme représentant l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe qui a pour ordonnée R„, l’axe des ordonnées et une ordonnée quelconque, répondant à une valeur de x inférieure ou égale à X. Or, l’ordonnée R,, a pour limite zéro; donc 9 (x,n) converge aussi vers zéro.

137. Remarques, I. Le théorème subsiste lorsque la série (1), convergente pour x-<X, devient divergente quand x=X , pourvu que

(*) On pourrait remplacer acro etx par deux limites quelconques; mais l'équation (S) deviendrait un peu plus compliquée. Du reste, le cas général se réduit aisément au cas particulier.

(**) Cett* fonctian <p existe, car elle est la différence entre F(x) et le poljnfime qui la précède.

8« TRAnt ÉUMINTAIRR PES SERIH.

la série (2) soit encore convergente pour cette valeur de x. En eiïet, les deux membres de la formule j(2) sont des fonctions continues, constamment égales; donc leurs limites, répondant A æ=X, sont égales entre elles.

II. Ce même théorème permet de développer en série toute fonction dont la dérivée ett algébrique, beaucoup plus simplement qu’on ne le pourrait faire par l’application du théorème de Mac-Laurin (120). Les exemples suivants vont justiGer cette assertion.

ApplÎMiioni.