SOMMATION DES SÉRIES

1150. Nous avons indiqué précédemment (Chap. III) plusieurs procédés très-simples, et pour ainsi dire purement arithmétiques, qui permettent de sommer certaines séries. Nous allons exposer actuellement, autant que le comporte la nature de cet ouvrage, quelques-unes des méthodes générales que les géomètres ont imaginées, dans le dessein de résoudre le problème de la sommation des séries. Dans ce chapitre, nous serons obligé d’employer la notation infinitésimale, ce que nous avons évité jusqu’ici (*).

n Voici, pour les jeunes lecteurs qui n'ont pas en main an Traité de Calcnl intégral, les principes de cette notation :

Ay dy

1» Si y=f{x), y'=f'{x)=tim—, se représente par

St ax

S'> La partie principal» de A]/, c'esl-li.dirc VAX, est appelée la diffénniiett» de y : on la représente par dy;

3° Lorsque x=y, Ay=Ax=dy; en sorte que la différentielle de la fonction se réduit alors à l'accroissement de la variable indépendante : ponr ceUe raison, ce dernier accroissement est généralement représenté par dx ;

Conséquemment , le rapport des différentielles de y et de x, c'est-à-dire dy : dx,

du dy

égale v" ou ^^(1*)- Autrement dit, dy = — dx; aX aX

s» F(®) étant la fonction primitive la plus générale de f[x), on écrit /(«Idat-I-C :

le signe f, initiale du mot somme, s'énonce lonune de ou intégrai» de. D'ailleurs, l'adjonction de la constante arbitraire C montre que f /(x)dx est une intégrale indéfinie, ou la fonction primitive ?(a:] que l'on obtient en renversant les régies du calcul des dérivées;

6" Si t{x) doit s'annuler pour x=a, on a ¥{x)=<([x)—if(a)=j' f[x)dx : o est la limite inférieure de l'intégrale;

7» L'expression J" f{x)dx=f{b)—^{a)=¥(V) s'appelle une intégrale indéfinie: elle est évidemment indépendante de x, si u cl <i en sont indépendantes;

L’équation f udv=uv— fvdu, que l'on vérifie en différentiant les deux membres, constitue le principe de l'intégration par partie.