CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES

Solution. Cette équation donne d'abonl

puis

on

-Jy=x+ ^ x'^ — x+—x+

J^-dy=x + xy,-

on encore, en différenciant les deux membres,

-dy={i+y)dx+xdy.

Si l’on écrit ainsi cette équation différentielle :

dy xdx

on voit qu’elle a pour intégrale :

d’où l’on conclut : ’

Ce résultat est évident par la formule du binôme (’). 173 . PaoBiiàME XVIII. Sommer la sine

Solution. En opérant comme dans le Problème XVII, on trouve successivement :

dy , mfm-l)... , m(m— l)(m— 2),

1 il * ■

(•) Le terme général de la série (I) a la forme -rr -, — ttt r-, n **"'■“ conaideréu

' “ ' ' o'(a'+b’) (a+Hl/)

ci-dcssus (165). Mais on roil qn’en faisant disparaître les facteurs a-*-nli, a'-mb', on retombe sur le point de départ. C'est pourquoi nous avons placé cet csemple dans les applications de la seconde méthode. La même remarque estappUcable au problème suivant, généralisation de celui-ci.

I x~’"~‘dy= — x-"” — jÆ-”-*-' — —

J x~’”~'dy= yx~^,

X~^'ây=x~’”dy — myx~"'~'dx,

dy àx

— fW . ' t

ly = ml{i + x);

et enfin

On a ainsi une nouvelle démonstration de la Torraule du bindme. 174. Problëne XIX. Sommer la série

Ti*’+ O 0)

Solution. Le procédé suivi plusieurs fois donne

'^^dx=alx+x+~x*-h

OU

ou encore

/ ^^^dx=alx+xy, , ■ a—x a

.Si l’on compare cette équation (2) à l'équation générale du premier ordre et du premier degré :

y + Py=Q. (3)

dont l’intégrale est

(■) Ce problème, gènéralisalion il'iin de ceux ipie nous avons résolus dans le ctiapilrc III (58), échappe encore à la première melliode (17i, noie).

(■■) Si l’on mtilli|ilie les deux membres <l« Péiinalion (3) par r*^*’’**, le pri’roier membre devienl la dérivée cjacle de On a donc

[y< y,JT8x

ou' i/r'erfx— I ; (.le