CHAPITRE II. — THÉORÈMES SÜR LA CONVERGENCE

20. Tbéobème VIII. Ltt mimes choses élant posées que dans le Théorime VII, l’erreur e que l’on commet en prenant la somme S„ , au lieu de sa limite S, est inférieure au terme 0 ^^., qui suit celui auquel on s’arrête.

Démonstration. 1° Si n est pair, on a

d ou S Sfl ,

c’est-à-dire e<u„ 4 .,.

2 ° n étant impair, on a

puis S„— S<S„— S„+, ;

etenBn

21. Remarque. L’erreur e, prise positivement ou négativement, suivant que n est pair ou impair, est égale au reste R„ de la série.

22. Tbéobème IX. Une série composée de termes positifs et de termes négatifs est convergente si les groupes successifs, formés par des termes de mime signe, diminuent indéfiniment.

Démonstration. Supposons que la série se compose d’un certain nombre de termes positifs, suivis d’un certain nombre de termes négatifs, suivis, à leur tour, d’un certain nombre de termes positifs, etc. Représentons par g, la somme des termes formant le premier groupe, par — g, la somme des termes forraaut le deuxième groupe, etc. Le terme général u„ appartient à un certain groupe 9 ,,' par conséquent, la somme S„ est comprise entre

9i—9*+9s— ±ÿi-i

et 9i—9t+9>— ±9i-i + 9i-

D'un autre c6te,

Sn-1

S.3 4.5 (Sn-a)(bi— I)

4 ï 4 *n— s Su— ij’

ilonc tfwiS„,= a — (1— JS),

<‘U Jim S,, = 1 Jim S,.

H TRAITÉ Ét.ÉMENTAIRE DES SÉRIES.

D'après le Théorème VII, ces deax sommes ont une limite commune S. Donc aussi

ltmS„=S.