Application. La série

est convergente ou divergente, suivant que x est, en valeur absolue, inférieur ou supérieur à l’unité (').

On a effectivement

lim l/u„=J!.

18. TBio«ÈMB VU. 5î les termes décroissent indéfiniment, et qu’ils * soient alternativement positifs et négatifs, la série est convergente .

Démonstration. Soit la série

U| U,+ Mj-- M4-I- +M,| Un+U^H-l

dans laquelle nous supposons

et, en outre,

limu„ = Q.

(*) On suppose a po.-Uif, ou au moins négatir non enlier.

(••) Si les premiers termes ne salisfaisaieul pas il ces comlilions, on represeiilerait par U, le terme à partir tiuituel, la série devenant régulière, elles sont vêriOces. Par exemple, dans le cas de la série

‘-T+ri'^rri+

citée plus haut (5), on ferait 10'»

!Oïï 10 :

aie.

Si, pour fixer les idées, nous supposons n pair, nous aurons : S,=u,,

= Ml— («i — W»)— («4— ««)— — Ü,,)— U,.

Ainsi, les sommes de rang impair vont en diminuant, et les autres vont en augmentant. D'ailleurs, la dilTérence S„-,— S„=u„

a pour limite zéro ; donc ce» diverses sommes ont une limite commune S, comprise entre deux sommes consécutives quelconques,

19. Remarques. I. Si les termes, alternativement positifs et négatifs, et décroissants, tendaient vers une limite X différente de zéro, * la série serait indéterminée. En effet, les sommes S,. S,, S,, ... S„, iraient encore en diminuant, et les sommes S,, S 4 , .... S„, respectivement moindres que les premières, iraient encore en augmentant ; en sorte que les unes et les autres auraient des limites. Hais, à cause de lim u„= lim (S„, — S„)= X ,

on aurait itmS„, — limS„ = X,

Ainsi, la limite des sommes de rang impair serait égale à la limite de» sommes de rang pair, augmentée de X (*].

(*) Soit la série

S 3 t 5 Sn Sn+l

"^*n— 1 “ in

auquel cas On a

iluuo

lim u«=l.

/ SU in+n

■ \în-t ÎB /

8b-1 Sn'

lirnSm =