Problème XXXIl. Transformer la série

*=7^=1—®+®*— «’+aî*— (10)

«I d'autres qui soient plus convergentes. >

1° Le calcul précédent conduit à

2“ 5t 1 1, le même calcul, appliqué à la série (11), donne

3* Semblablement, si x «ufyosse 3, on peut remplacer la série (12) par

et ainsi de suite.

204. Remarques. I. Les limites de convergence, pour les séries (10), (11), (12), (13), sont, respectivement :

11. Supposons, dans les deux premières séries, x— 2 : la série (10) deviendra divergente, et il serait absurde de prétendre, comme l’ont fait plusieurs géomètres, qu'elle est encore équivalente à son premier membre, ou que l’on a

Néanmoins, féquation (11), déduite de la série (10) quand celle-ci était convergente, subsiste encore. En effet.

Ainsi, une série convergente (B),'déduite d’une série convergente (A), obtenue en développant une fonction F(x), peut, dans certains cas, représenter encore F(x), après que la série (A) est devenue divergente (').

( ) C est probablement là ce qu'ont voulu exprimer les auteurs qui se sont occupés de h lransformalion des tMrs dipergnlts m séries convergentes (197, première note).

III. Si, dnns les séries (11) et (12), on suppose x compris entre — 1 et -4-1, les termes de le première série deviennent tous positifs. Il n’esi donc pas toujours nécessaire, pour l'application de la méthode de Uulton, que les termes de la série proposée soient, alternativement, positifs et négatifs. Il est vrai que, la série transformée pouvant être moins convergente que la série primitive, la transformation n’oiïre plus d’utilité (*).

IV. Pour une môme valeur de x, comprise entre - et 1, les séries

(11), (12), (13), sont de moins en moins convergentes; mais elles

le sont plus que la série proposée (10). Par exemple, x—^ donPe les résultats suivants :

tra:<sformatio?!s de seconde espèce.

205. Dans le chapitre précédent, nous avons développé plusieurs fonctions suivant les sinus ou les cosinus des mulliples de la variable. Nous allons retrouver quelques-uns de ces développements, et en obtenir de nouveaux, en supposant que la variable ait la forme pe'V'-*. Les résultats auxquels nous arriverons par cette voie mettront en évi-

(•) Soit, üans le» séries (11), (lî), x — on trouve

=ii=‘+4-^{») Hv''

ce qui est exact. Mais la seconde série est beaucoup moins convergente que la première.