Leumes
1“ e**'^~'=cosx±k^ — lsinx(“).
sin x=
3° cos — i)=
sin
tg(®/^);
VZIi.
207. Pbobléhe XXXIII. Développer, suivant les sinus et les cosinus des multiples de u, la fraction
I — pc^~'
Solution. La formule
trouvée en supposant i*<fi subsiste quand x devient imaginaire, mais que son module est inférieur à l’unité (“*). Par conséquent, pour toute valeur du module p, moindre que l’unité, on a
^=l+pen/^+pV“'^+pV“v'-^
OU
^-^^=^^p"(cosna> + |/— Isiniua). (1)
200. La formule (1) serait à peu près inutile, si nous ne mettions son premier membre sous la forme A+B|/^. Or,
^ 1 — 1— pfeosu — v'— t sinu)
I — pe^-' I— âpcosu+p* ’
{■) MM. Briot et Bouquet ont pobllÉ réccminent, dans le Joumni de l’École pati/lethniqiu, un mémoire intitulé : Étude det foitcliont d’une variable imaffinaire. Nous regrettons que l'eviguîié du cadre dans lequel nous a*ons dù noos renrermer nous ait empéebé de rien cm|irunter à ce beau travail (septembre 1858).
(*■) Nous rappelons que ce lemme.dunt les autres sont descunséqiiencea immédiates, renrerme la formule de Moivre (lU).
(***) Cest ce qn’il est facile de démontrer.
donc
— i=l+pcoso)+p’cos2tii+p*co9.3(»4- (A)
1 — 2fC08w-+-p * ‘ * ' '
^-^^^.=p9ino)+p*sin2û)+p’8in3»+ (B)
Ces formules ne difl^rent pas de celles que nous avons trouvées dans le Chapitre VI (Probl. XXIII], par un procédé beaucoup moins simple que celui-ci.
209. Problèms XXXIV. Développer la fonction Solution. Si, dans la formule (E) du n° 112 :
on remplace x par p«“'^=p(coso>+I^ — Isinw), on trouve
.!•> «)| g‘‘' -^(co8tto-4-/^sin nu). (2)
Mais
jPl'«“+v^’‘"")=ei''““.efviM*‘""=ef'‘’'“[co9(p9inM)-4-P'^ sin(psin(,>)]; donc la formule (2) se partage en
e?”’ “ cos (p sin <!)]= 1 -4- y cos û> -4- cos 2ia-|- ^ ^ ^ cos 3u -4- , (C)
e*’“’'"sin(psin(a)= jsinai-4-^sin2w-f-^j-^-jSin 3u-4- (D)
210. Rtmarquet. I. Dans ces équations, le module p peut être quelconque, parce que les séries (B), (C) sont toujours convergentes (49). Si l’on remplace p par y ' — 1 (*), le premier membre de la formule (G) devient
e^~‘'°*“cos(k' — lsinu)=[co9(co9w)-4-/—lsin{cos (.))]- — ^ ;
donc
l(e"““+e-""“)co9{co9 u)=l |(e*'" "-4-e“*'“ “) sin (cos u)=
COS 2e» C08 4t» COS Cm
lTr‘*‘l.2.3.*~1.2.3.4.5.6 cos U cos 5o cos Su
(*) Cette hypothèse est en contradiction avec la définition môme du module. Néanmoins, les résultats auiquels nons allons arriver sont eiacts , ainsi que l’on peut s’en assurer par une vérification d poilmort.
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