CHAPITRE Vn, — TRANSFORMATIONS DE SÉRIES

De même, la formule (D) conduit à 1 («’*" “ — e-tin “) gin (cos(a)=*-^ —

1 ») cos(co8cû) = îip —

sîn 6u t.3.3.4.5.6

sinSu , gin Su

II. La combinaison des quatre dernières formules donne encore ces résultats remarquables :

.lisi

cos(cosu)=l4

e‘'"“sin(cos(a) =

sinu eos3u cos3u , cos4u , gin Su . . .

cosu . gin3u cosSu sin4u . cosSu

211 . Problème XXXV. Développer les fonctions sin (pe'^~‘), cos(pe“V/^).

Solution. Les formules

~îi-4

siii

cosæ=l —

donnent

sin (p«"'^”‘)=2go ( — l)"p"^*[cos(2n + 1) 03 +1^ — 1 sin (2n cos(p«“V^)=2^ ( — l)"p’" [cos2n« + l^ — Isiu2n6>].

Il reste à transformer les premiers membres. Or,

sin(pe“^“‘)=sin(pcosu4-l^ — 1 psinu)

= sin (p cos oj) cos — l p sin o))+cos (p cos w) sin {/ — 1 p sin u)J

= î sin (p cos u) (a? "4-e"f ““ “) 4- 1 cos (p cos &>) “ — e “) V — 1 ;

cos (pe“'^~') = cos (p cos U + — 1 p sin u)

= cos (pcoso)) cos (K — Ipsino))— sin(p cos w) sin ly — 1 psin&i) =^cos(pcos o,)(«i"‘"“4-«-<’ ^sin(pcosw)(«î'

Donc

i (eP«" “4-e-? “) sin (p cos w) = ^cos m — 3m 4- , (L)

I (jP ■» “e-P »î« “) cos (p cos (o)= J cos «— co* 3u+ (M)

1 (e? •“ “-f e-ï ’‘"“)cos(pcosu)=l— j^s 2o>+ (N)

^(eP*‘»**e-P'™“)8in (p cos«) = ^sin 2u— *“+ ! (P)

pais

«f “ sia (p coSù))= |cos U 4- sin 2 <>> — — »

e? • cos (p Costa) =14- [sinw— ^ cos 26a— ; (R)

etc.

212 Phoblèmb XXXVl. Développer la fonclion Solution. En opérant comme dans les problèmes précédenU, on a d’abord

/(l|pe"V'-^)=V ( — 1)"-' t [cosnea+P" — 1 sin nu] ;

puis, si l’on suppose

l(l+pe“^^)=A+Bl^^ :

1 4-p(costa4-l^ — 1 sin w)=e*(cosB+l^ — 1 sin B) ; A=l/(l+2pC0S(a4-p‘). B=arctgj^:^:

i/(l+2pCOSca+p*)=^COSca— |-C0s2ta + |-C0s3<a— |-C0s4(a+...., (S)

arcte-^^^^=ïSinta — Çsin2«a+^sin3ta — Uin4w+ (T)

Ces formules ont été trouvées dans le Chapitre VI (Probl. XXI). 213. Problème XXXVII. Développer la fonction arc Ig (pe”'^). Solution. On a

arc tg (pe'V-')=V"(l)»-'|^[cos(2n-l)ü>4y^8in(2n-t)<a].

arctg (p costa-l-/ — Ipsin ia)=A+Bl/ — 1 ; arc tg (p cos «a— j/— 1 p sin «ü)= A — B j/ — 1 ;

Soit

alors

puis

2A=.rctg^“, 2B/=ï=arctgi^^.