CHAPITRE II,— TlltoRÈMES SUR LA CONVERGENCE

Ces deux iiiégplités, qui deviennent évidentes au moyen d’une figure, peuvent aussi se démontrer comme il' suit :

Soient

^{h)=f{x+h)-f{x)~hr{x), m=f{^)-n^-h)-hr{x):

d’où

^’{h)=nx+h)-r{x), m= w.

D’après la seconde hypothèse,

La fonction ^(A), ayant une dérivée négative, est décroissante. D’ailleurs, elle s’annule avec h; donc, etc.

26. Lenue U. Soit f(x) une fonction positive et indéfiniment décroissante, du moins à partir de x = a — J; soit F(x) la fonction primitive de f(x). On a

/{a)-i-/la-hl} + +/\'o+n— l)>F(a+n)— F(a) (3),

/la)-h/la+i)-h -t-f^a+n— l)<F(a4-n— 1)— F(a— 1) (4).

Les inégalités (1) et (2) donnent

f{x-{-n—lh)—f{x—h)yh [f{x)-^-f'{x-h h) 4- +f(a:+n— 1 A)] .

Remplaçant f par F, f' par f, x par a, et h par t, on a les inégalités (3), (4).

27. Remarques. I. Ce second lemme est évident à l’inspection de la figure ci-contre (*).

O Celte milhode très-simple a ètè employée par M. L. OUvier (Journal dr CreUe, l 11).

II. Si F(a;) devient infinie pour X — a — 1, on remplace l'inégalité (4) par celle-ci :

f(a+i)+f{a-\- 2)4- +f{a-hn)<C.F{a+n) — F(o),

qni équivaut à

28. Théorème XI (Théorème de Cauchy). St f(x) est une fonction positive et indéfiniment décroissante, la série

est convergente ou divergente en même temps que la fonction primitive F(x) (*).

Ce théorème est évidemment contenu dans le Lemroe H.