Corollaire (**). Les séries

3/3 ((J3) i+» "*■ («I-+- 2)/(n-|- 2J [//(n 4-2 ) ji-H* "*■

sont convergentes lorsque k est positif, divergentes si k est nul ou négatif.

Démonstration. 1* Si l’on suppose

A®) œH-»’ A®) a:(/x)H-»’ o>te(//<E)'-t-*’ '••••»

on a

fW=c-^. rW=c-ü^, f(.)=c-iü^ i

et ces diverses fonctions primitives sont convergentes ou divergentes, selon que la constante k est positive ou négative. Il en est donc de môme des séries correspondantes (Théor. XI).

(') Penr abréger, nous üitont qu’une foncUon de x est convtrgmlt, lorsque, x croissant indéfiniinenl , elle lend vers une limite. Au contraire, une fonction diocrjen/e est celle qui devient infinie avec la variable,

(“) Dû à M. Bertrand (Journot de Liomntk, I. VII).

CMAPITKE ir. TIIÉORÈ^IES SUR LA CONVERGENCE. 2° Soit

alors

llx)=

xlxUx ’

T(x)=C+!x, F(a:)=C+/te. F{x)=C+lllx. etc.

3(). Tbéohêke XII. 1» Une série composée de termes positifs et indéfiniment décroissants est d.veegrnte s.', à partir d'une certaine valeur de n, on a constamment

ou

ou M„>

nlnlln '

OU, etc.,

3 étant une constante positive ;

2* La série est convergente si, n partir d' une certaine valeur de n, 01 » a constamment

oc, etc..

^ el k étant des constantes positives.

Ce théorème résulte immédiatement du corollaire qui précède, joint au Théorème X.

31. Théorème XIII. Les conditions de conver.jence de toute série à termes positifs et indéfiniment décroissants sont comprises dans le tableau suivant :