IV. Iji série

lll^ \i+« jllA

est convergente si a est positif, divergente si a est nul on négatif. 1° On peut écrire

Cette quantité a pour limite zéro, si 1 + a est positif.

en posant

'(’+ïïtt)

Par suite,

n r / 1 Wi+ipH

— ln+i)<+'\ V'^li+îl J

rjhèLr.

I U(«+t)«in + i)J ■

puis lim ntl,, = 0

„ . n'"*"* rsl i

si la quantité a est positive, et que l'on prenne k=z, on a lim ni4„«‘=: 1 ;

donc la série est convergente.

4“ Soit«=0. Alors

11+1 11+1 ) ■/tn+l)»(n+i)’

aiAPlTKE II. — TIIEOKÈMES SUR LA CONVERGENCE.

et cette quantité croît indéfiniment avec n (*) : il y a donc incertitude sur la nature de la série. Mais

nlnlln.Un—

‘JL. J’r ifi4

donc /tm n/n//n.u„=l :

la série est divergenle (**).

5" Elle Test, à plus forte raison, si a est négatif.

Aatres règles de convergence.

5/i. Les règles précédentes deviennent peu commodes lorsque le terme général, m„, est un produit dans lequel le nombre des facteurs croît indéfiniment avec n. Quand celle circonstance se présente, on peut recourir à de nouvelles règles (***), qui résultent des propositions suivantes.

5o. Lemmb I. Les séries

l + 2Ï5i-|-3i:rk‘^ »

sont convergentes si k est positif, divergentes si k est nul ou négalt'f{29).

(’) En eflel, si Ton pose «+I=es, on Irouvo

nwn

P eks 3/3 ‘

les trois [iremiers facteurs ont pour limite l’uni lé, le quatrième devient infini avec 3; etc.

(**) L'incertitude ne cesserait pas si l’on appliquait la deuxième condition nécessaire et la deuxièmr condition suffisante (Tbêor. XIH); c’est pourquoi nous avons cherebé immédiatcmrnl lu limite de tiMln.Un-

{"1 Ces nouvelles règles ne dilTèrcnl pas, au fond, de celles qui ont été données, soit par M. Bertrand {Journal de Uouville, I. VII), soit par M. Paucker (Journal de Crelle, t. XI.IP.

Ü-2 TRAm; F.LFMENTAIRE DES SÉRIES.