CHAPITRE n. — THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE

et enfin {')

n+ll ''Up+iy lim B = — k.

Soit encore

'(“+^)=p'(>+.-îs)-

Ces valeurs donnent

puis limC= — k;

etc. (••).

37. Tuéoréme XIV. Une série composée de termes positifs est convergente ou divergente, suivant que la première des quantités

lim\{n+if-^-n\,

• I.m|(n+l)I(rH-l)!^=±l— n/nl,

L tin I

Um [(n+1) /(n+1) —nlnlln]

qui nest pas nulle, est négative ou positive.

Supposons, pour fixer les idées, que l’on ait constamment, à partir d’une certaine valeur de n,

{*) A cause de

“(-dii)’

(") Il ne serill pas dilBcile, an moyen d'un raisonnement connu, de faire voir que la proposition énoncée est générale.

2i TRAITÉ ÉIÆMEXTAIKÉ DES .SÉRIES.

y ulaiit posilir. Il'après la relation

lirn\{n+l)[-l-)'^''-n]=~k,

démontrée ci-dessas, on peut toujours assigner une valeur positive de k, inférieure à y, telle que l’on ait, à partir de la môme valeur de n,

Mais, s’il en est ainsi, les termes de la série proposée décroissent plus

rapidement que ceux de la série convergente

il i

donc la première série est convergente.

La même démonstration est évidemment applicable à tous les cas (').

■'S8. Remarques. I. Si l’on pose

Ufl-f-l -

r,=w/’^-f-r,/(n+l), r,=znlnl‘^^~+rtll{n+i)

on pourra modilicr ainsi l’énoncé précédent ;

(*) Si le lecteur épronyait quelque (liflicullé II coiniarer les bin6mes

Uii+i I u.|-J \ t4-V 1

Vn ln+ï\tw-(-ÿ/ J

il pourrait remplacer celui-ci |>ar

Eu cfTet, cettu dernière quantité a la nièmu limite que D. Oette lemarquc subsiste pour les autres binômes.