CHAPITRE H. — THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE

dans laquelle tous les termes sont supposés positifs, il suffit de rendre

IV. Il y a cette différence entre les séries convergentes et les séries divergentes, que, dans toute série convergente, la somme de p termes consécutifs tend vers une limite, quand le nombre p augmente indéfiniment, et que, dans les séries divergentes, cette somme croît indéfiniment avec p, quel que soit le rang du premier des termes considérés. Ces deux propriétés, que l’on pourrait regarder comme évidentes, résultent, très-simplement, des principes précédents.

En effet, si la série est convergente, on a

S«+p — S„ -t- R„^.p — R«= 0 ; puis, en supposant n constant et p variable,

lim (S„+p S„) R„ = 0 ,

ou lim (S„+p— S„)z=S — S„.

Au contraire, la série étant divergente, la somme S,h-p dépasser toute limite; et il en est évidemment de même pour (S„ 4 .p — S„) (**). ^

8. Théobèiie III. Dans toute série convergente, la somme d’un nombre indéfiniment grand ('**) de termes consécutifs tend vers zéro, lorsque le rang du premier de ces termes augmente indéfiniment.

Démonstration. Dans l’équation

(W|t+1 ~l~ «II+J+ 4- “n +p) 4- Rp+p — Rn= 0 <

supposons que p soit une fonction de n, qui devienne infinie avec cette variable. Nous aurons, «n passant à la limite,

lim (u,h-i4-m»+î 4- -l-u„.^p)=0,

absolument comme dans le cas où p était supposé constant (6).

(') Dans la plupart des cas, les termes de la série vont en décroissant, du moins t partir de l'un d'ens. S'il en est ainsi, l'inégalité ci-dessus sera vérifiée dès que l'on aura

(*') Toujours en supposant n constant.

I"’) IruU/Mmmt grand signifie ici ; gui croit indéfinimmi.

î). Remarque. Cfiltc proposition , bnaiiroiip plus générale que le 'Ihéorème II, n exprime pourtant pas une propriété qui appartienne c.\elusi\eineiit aux série.s convergentes. Pour le montrer sur un exemple simple, considérons la série divergente

Kn supposant p=ri , nous aurons

"+l> n (n+2)/(n-t-t) (4n-t-1}I(în-H)‘

Tous les termes du second membre sont moindres que — ; donc,

’ n/ri

et. cotiséqueminent, lim[S„+,, — S„) = ü.

Ainsi, la somme d’un nombre indéfiniment grand d^ termes consécutifs peut avoir pour limite zéro, sans que la série soit convergente (*'). 10. Tiiéohême IV. Si les termes d'une série sont, en valeur absolue, * respectivement moindres que ceux d'une série convergente dont tous les termes ont même signe, la première série est convergente.

Démonstration. Déconijiosons la somme S„ des n premiers termes de la série convergente en deu.v parties a„, b„; a„ représentant l’ensemble des termes correspondant aux termes positifs de la première série, et b„ In somme de cimx qui correspondent aux termes négatifs de celle-ci. Désignons par S'„, a'„, b'„ les quantités analogues, relatives à la première série. Nous aurons

I.a seconde série étant convergente, les sommes positives croissantes a„, b„ ont des limites a, /3 ; donc les sommes positives croissantes a'n, b'n, respectivement moindres que les premières, ont des limites d, (3'; et la somme S'„ a pareillement une limite, égale à

^■) Voir plus loin, n" 49.

(’■) ('.elle proposilioii jusliHe ce ipie nous avons dit ci-dessus (n« 7).