III. Diieuter la série

J , a'4-c' (a-K)(ii<H-c) .

(<H-C)(2a-K) (n^l a-l-c) (a'-K') (9a'-K') (n— la'-K') ^

{b-^-c){ib+c} (n— I ÎH-c) (n^l b'+c')

^ u„+t J noH-c na’-t-c' ^ (aa'—bb')n'+{ac'-^^a—bc’—cb’)n

• U. n6-(-c ■ n6’-Hc' 66'n’-H(6c’-H'6'In-Kc'

2° Si oo' — bh' est différent de zéro,

aa' — 66 ’

/mr. = — (TT— .

Suivant 'que cette quantité est négative ou positive, la série est convergente ou divergente.

3° Si ao'=66', /imr,= 0, en sorte qu’»/ y a doute. Mois, dans ce cas,

(rtc'-f-ca' — 6 c' — c 6 '-(- 66 ')n’-t-fac'-H:a')n-f-cc'

puis

lim r^~

66 'n’-(-( 6 c'-i-cfc ' nH-ce' oc 4 -co' — 6 c' — e 6 ’-+- 66 '

i” On |>ent toujours supposer b et b' positifs. Dès lors, la série est convergente ou divergente, suivant que l’on a

ac'+ca' — bc — eb'-\- 66’ ^ O.

5' Si ac'4-ca' — bc — c6'4-66'=0.

ily a doute. Mais, évidemment, /m[r,/(n+l)]=0; donc

lim r, = 1 :

la série est divergente.

«énei à t«rcD«« oroiM«ots et décroùsenU.

40. Jusqu'à présent, nous avons supposé que les termes de la série proposée décroissaient indéfiniment, du moins à partir de l’un d’eux; et nous avons indiqué diverses règles au moyen desquelles on peut, dans Ions les cas, reconnaître In convergence ou la divergence. Mois il

28 TKAITK ÉLEMENTAUIE DES SÉRIES.

peut arriver que le terme général «„ , tout en ayant pour limite zéro, soit exprimé par une fonction de n lanlôl croitsante et tantôt décroissante (*). Il paraît très-difficile de trouver des règles simples, relatives à ce cas singulier. Nous nous contenterons d’énoncer la proposition suivante, analogue an Théorème IX ;