III. Soit enfin

” , nir

nsin — — n'cos —

nous aurons la série

3 “"ûü " tu 100 11 UA

que nous pouvons réduire à

ffi — + +

en posant

J .JL

9*“ 2i— 1 "'"aP'

Par conséquent, la série est convergente (“).

43. Remaroie. Une série à termes alternativement positifs et négatifs, et dont le terme général a pour limite zéro, peut être divergente. Pour justifier cette proposition, il suffit de considérer la série

(") On verra (iliis loin que celle série a jioiir somme ^ — !.

r TC*

(•■) Elle a |H)ur somme

Effectivement, la Homme des 2n premiers termes est

donc la série est divergente (*'i.

Set séries inuiginatres.

44. Définition. Une série dont le terme général a Ig /orntf — 1 dite convergente, lorsque les deua: séries

sont convergentes.

On voit que les conditions de convergence d’une série imaginaire donnée se ramènent immédiatement aux conditions de convergence de deux séries réelles. La proposition suivante réduit très-souvent l’examen de la série proposée à celui d’une seule série réelle.

4i5. Théorème XVI. Une série imaginaire est convergente, si la série formée par les modules de ses termes est convergente.

Si l’on met le terme général, — J, sous la forme

p„(cos — 1 sin w„),

p„ étant le module de u„, les trois séries réelles dont il s’agit seront

P J cos Wi— f- P J cos Wj~l“ ”4“ P» cos . . . . . ,

P J sin oi J *4“ p^ sin &>, “4~ • • • • • i

Pi +p! + 4-p„ +

(*) Celle série appariieiubienù la classe que nous venons d'examiner; car, evidemnMiii,

et

D'ailleurs, pour réduire à la même forme les termes de rang pair ei les termes de mug impair, il suffit de prendre

cos(n-»-1)x

Un=-

nH h- cos nit -+.cosn^