CHAPITRE II. — THÉORÈMES SDR LA CONVERGENCE

Or, si cette dernière série, dont tout le» terme» tonl positif», est convergente, les deux autres le seront pareillement (Théor. IV).

46. Kemarqces. I. Si le module p„ n’a pas pour limite iéro, la série proposée est divergente ou indéterminée.

En elFet, à cause de

P?i = aîi+P?it

une, au moins, des quantités a„, ji„ n'aurait pas pour limite zéro.

U. Si le module p„ a pour limite zéro, et que cependant la série des modules soit divergente , la série proposée peut être convergente. Par exemple, la série

dont le terme général a pour valeur

- cos -

ni

sinf

est convergente, bien que la série de» modules

soit divergente (').

47. Lemme (Théorème d'Abel). 5oi'ent u,, u,, , u„ des quantités

réelles, positives ou négatives. Soient e,, e e„ des quantité»

positives, décroissantes. Si, pour toutes le» valeur» de u inférieure» à une certaine limite, on a

an aura aussi '

E,A<e,M,+£,u, + -I-£„ti„<E,B.

(*) A cause de

et de

la série proposée a pour somme

Démonslralioa. Posons, pour abréger,

*n=Mi+«, + + Wfl. S„=e,tt, + 6,M,4- + e„u„.

Nous aurons

^1— *•« — *»■“*), Wj = Sj s,, U„—S„ *H—I>

et, par conséquent,

=(E,—et)»i-+-(s, —£,)*,+ +(£,-,— £,)*«-! +£«*,!•

Mais, les différences s, — c,, e, — s, e„, — e„ étant positives,

on a, d’après l’hypothèse :

Ajoutant toutes ces inégalités membre à membre, et réduisant, on obtient