Théorème XXI

S,<F(a+n-l)-F(o)4-i[r;a)+/Ia+n-l)]-g[/'(o)-r(a4-n-l)].

Dimonttration. Soit ATT'.V le trapèze déterminé par la tangente en A, l’ordonnée au milieu de A’B', etc. On a, en désignant par f{a) la dérivée de f{x),

TT'=«.-i-^f(a):

donc ATT'A'=j[2«,4-^r(®)]5

puis ^Mi4-gr(“)<F(a+§)— f(a)*

On trouverait, de la même manière,

lr*n-ln<^+n-l)<¥{a+r,-i)-F[a+r,-ÿ.

Ces deux inégalités, combinées avec

donnent

81. Remarque. La limite de l'erreur résultant des formules (D) est

82. Lbmme. Si f(x) est une fonclion positive et indéfiniment décroissante, dont la première dérivée soit croissante et dont la seconde dérivée soit décroissante, on aura

f{x — h) — f{x+h)-F-2hf{x)>0.