CHAPITRE IV. — SOMMATION DES SÉRIES

Démonstration. Représentons par <f[h) le premier membre; nous aurons

Par de simples considérations géométriques, ou par les premières no» tions sur les dérivées, on trouve

f{x+h)=f{x)+hf”{x+ Oh),

r{a^h)=f[x)-hr[x-6,h) (•);

6, 9, étant des quantités comprises entre 0 et 1. Conséquemment

^\h)z=h[r{x^o,h)~r[x+oh)]-,

ou, d’après l’une des hypothèses précédentes,

La fonction <^K) est donc croissante. D’ailleurs, elle s'annule avec h; donc, etc.

83. CoROLLAiHE I. Les points A, B, C ayant pour abscisses x — h, X, x+h, l’angle aigu formé par la tangente T6S et par l’axe Oor est plus petit que l’angle aigu formé par cet axe et par la corde AC.

En elTet, l'inégalité précédente équivaut è

/fa; — h) — f{x+h)

84. Corollaire II. Si, par les points A, B, C, on fait passer une parabole dont l’axe soit parallèle à Oy, la partie de cette courbe située

(’) Chacune de ces iné|;alités eiprima ce lait géernéu-iiiue ; La droits fwi jomt lu «r- IrémiHt d’un arc de courbe est paralMe à la Imgmte en un car foin pont de cet arr.

entre A et B sera au-dessus de AB, et l'arc de la même courbe, situé entre B et C, sera au-dessous de BC (*).