CHAPITRE IV. — SOMMATION DES SÉRIES

Loi>-'

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(a+n-f)i-'J 2loi>

etc. Ces formules peuvent servir h calculer, avec une approximation plus ou moins grande, soit les sommes des puissances semblables négalites d’un certain nombre de termes appartenant à la suite naturelle, soit les limites ver 4 lesquelles tendent ces sommes. Par exemple , les formules (D) donnent

îi>l+l + i.+ >1.

95. Remarques. I. On voit que la somme des cubes des inverses des

nombres naturels est comprise entre 1 et — . Par d’autres méthodes

ou trouve, pour valeur de cette somme, le nombre 1,202 056 (*).

ü. Si, dans les formules du numéro précédent, on changeait p en — p, on pourrait les faire servir, moyennant certaines modiGcations (**), au calcul de la somme des puissances semblables et positives des nombres naturels (***). Il est vrai qne les résultats seraient généralement peu approchés.

DigreMioa mv le» »értet divergente».

96. Noos avons fait voir, dans le chapitre II (9), qqe la somme d’un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs, appartenant à une série divergente, peut, dans certains cas, avoir pour limite zéro. A plus forte raison, cette somme peut tendre vers une limite finie, s’il existe, entre le nombre n de ces termes et le rang a du premier

(•) Lacroix, I. III, p. U9.

(*•) Par exemple, dans la formule (A) on devrait changer > on <•

('*') Voyez, sur ce sayet, les NouveUet Aimaits de JtathSinatiques, U VX, p. S30.

d'entre eux, une relation convenablemml choisie. Le Théorème XIX entriilnc, en effet, la proposition suivante :

97. Théorème XXIII. Si le nombre entier n est une fonction donnée (lu nombre entier a, qui devienne infinie en même temps que a, et si la différence F(a + n) — F(a) tend vers une limite X lorsque a croit indéfiniment, on a

hm [f{(t) + f{<t+ 1) + -hf[a-\-n — l)j=i.