DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

100 . Etant donnée une fonction d’une ou de plusieurs variables,

f(x. y, Z, ), on peut se proposer de la développer en série, ou de

trouver une série convergente

+Us + +

qui ait pour limite f(x, y, z, ). Par exemple, le développement de

ordonné tuivant les puissances entières et positives de x, est

l4-x+a:’4-aj’+ :

en effet, lorsque cette série est convergente, elle a pour limite

101 . Remarque. Une même fonction peut admettre plusieurs développements (*) : la fonction , égale à

est développable aussi suivant la série

. as , l.a.œ* 1.2.5.0!* ,

(t+®)(t+Sx) (l-t-a!)(l + îa:)(H-3a;)

lorsque x est positif et plus petit que 1 (**).

102. Parmi les développements dont une fonction est susceptible, celui qui procède suivant les puissances entières et positives d'une variable, étant ordinairement le plus simple ("*), est aussi celui que

(*) El même une in^nilé de développements.

(•*) Ceci résulte de ce que l’on a vu ci-dessus (59, I).

(•") Il esl c.sseniiel d’observer qirutt« fonction d'une variable x n'est pas toujours développable suivant les puissances entières et positives de x. Par exemple, on ne saurait avoir log a;= A-h Bj'-f-

Ay B, C, D, étant des cottsiaiues. En effet, cette équation se réduirait, pour xs=0, à