III. la série

^ , a+c I (a+e)Cîa+c) . ^ (n-fe). . .(>î^g+c) ,

b+c (d»-t-c) [ib+cj (6-hc) . . . (n^t b+c) '

dans laquelle a, b, c sont des quantités positives, est convergente si a est inférieure à b. Dans le cas contraire, elle est divergente.

(') Par exemple, ainsi qu'on lu verra plus loin, la série

esl convertie, et la série

est fUvergmtê,

('*) somme de celle série, ordinairement désignée par la lettre e^est la hase des logarithmes nepiTiens.

Elle a poiii' somme

(TRAITÉ ÉLÉMEiXTAlKE DES SÉRIES.

En effel, dans le premier cas, les termes sont, à partir du troisième, respectivement moindres que ceux de la progression décroissante

% Règles de coaeergenec.

13. THÉoaÊiiB V. Une série ett convergente si, à partir d’un certain rang, le rapport d’un terme au terme précédent, pris en valeur absolue, est constamment inférieur à un nombre donné, moindre que l’unité.

Démonstration. D’après le Théorème IV, il soflit de considérer le cas où tous les termes sont positifs. Or, si l’on a

Oe+l^

Un+p-1

a étant une constante positive, inférieure à l’unité, il en résulte que les termes

•*n+ii Ub+j,

sont respectivement moindres que les termes de la progression décroissante

ixu„, ’

Et comme cette progression forme une série convergente, il en est de mémo pour la série proposée.

14. Remarques. I. Ordinairement ce théorème peut être énoncé ainsi : Une série est convergente, si le rapport d’un terme au terme précédent, pris en valeur absolue, tend vers une limite moindre que l’unité.

II. Cependant la première proposition est plus générale que la ' seconde : il peut arriver, en effet, que le rapport n’ait pas de

(•) A cause de

na4-c n6 + c