CHAPITRE V.— DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

l’on cherche presque toujours, de préférence à tous les autres. Les propositions suivantes servent à résoudré les questions les plus importantes, relatives à ce genre de développement.

Théorème de Taylor.

i03. On sait que, f\x) étant une fonction entière, du degré m, on a, quel que soit l’accroissement A,

nx+k)=f{x)+^j{x)+f^r{^)-

rrw.

Lorsque f[x) est une fonction quelconque, cette relation doit être modifiée ainsi qu’il suit :

104. Théorème XXIV (Théorème de Taylor). Si f“'^'(z) reste finie et continue pour toutes les valeurs de z comprises entre x et x+h, on a

fix+h)=fix)+\rix)+^^no^)+

P étant un nombre pris arbitrairement entre 0 et n, et $ étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1.

Démonstration. Représentons par R le reste que l’on obtient en retranchant de ({x-\-h) la somme des n-f-1 premiers termes du second membre ; il s’agit de prouver que

En remplaçant x par a — h, on a d’abord

R=/(a)-/i:a-A)-J/*(a-A)-^r(a-A)- -r£^r(a-fc)=î(A); (3)

(') Cette rorme do reste, qnl comprend les deux formes ordinaires

a été donnée par M. Edouard Boche {Journal de UouviBe, t. XXIII, p. S7I). Elle est comprise elle-même dans une expression très-générale, due 1 M. SchlSmilch, que nous ferons connallre.

d'où, en prenant la dérivée par rapport k h :

-na-/.)-îr(a-ft)-Sr>-'<)- -TâSbjrta-/»);

c’csl-à-dire

D’un autre cùté, l’égalité (3) donne

Conséquemment, il s’agit de déterminer la Tonction (f{h), s’il est pos* sible, par la connaissance de sa dérivée et par la condition (3). A cet effet, nous démontrerons d’abord la proposition suivante (').