Lemme. Si les fonctions ip(ic), <p'(a;), reslent finies

et continues depuis x=a jusqu'à x=b, et que la fonction ne s’annule pas dans cet intervalle, on a

y(i)— Viaj 4 f'[o+«( 6— g)t’ ' ^

e étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1.

Démonstration. Soit la function

F(x)= [(f( 6 )— f (o)] <Kx)— [<K 6 )— 'Ko)]<p(x) :

d’après les hypothèses précédentes, elle est continue, aussi bien que sa dérivée, depuis x = a jusqu’à x = b. Or,

F(a)= 9 ( 6 ) i{((o) — (K 6 ) q{a) , F ( 6 )=— tp(a) i|/( 6 ) + i]<(a) ç(&)= F(a) .

Par ^conséquent, F'(x) s’annule au moins une fois , entre x=a et x=ih; on, ce qui est équivalent, l’équation F'(x)=0 a au moins une racine comprise entre a et b. C’est précisément ce qu’eiprime la relation ( 6 ) : cette relation est donc démontrée.