CHAPITRE V. — DEVEI.OPPEMENTS EN SÉRIES

nité; par conséquent, elle représentera aretga; si /t'mR=0. Soos sa forme actuelle, on ne voit pas clairement que le reste R jouisse de cette propriété; mais, si l’on pose

l=pcosX, 5x=psinA, et si l’on a égard à la formule de Moivre (115) :

(cosX+t' — 1 sin X)'’= cospA+/ — 1 sinpA,

on obtient donc

et

arctgÆ:

i"+> sin(n+1)X

/»mR=0,

120. Remarque. On voit, par cet exemple, que la formule de Mac-Laurin se prête assez difficilement au développement des fonctions algébriques fractionnaires {*). Nous indiquerons bientôt d’autres procédés plus commodes ; mais nous appliquerons encore la méthode précédente à une question particulière.

121. PnoBLËME. Développer, suimncles puisiancee entières et positivée de X, la fraction

Solution. Cette fraction se décompose (’*) en lorsque x est plus petit que 2 (***) :

Or,

(*) La fonction arclgx est transcendanie; mais il est clair quo la difficoité siznaléc ici lient uniquement à ce que la formule en question ne s'applique pas aisément au développement de

(*‘) Vonuel des randidols d fÉcolt potyltckniqut, t. I", p. S3S.

('••) En valeur absolue.

TRAITÉ ÉLtMENTAlRE DES SÉRIES.

et, si X est moindre que 3 :

Conséquemment,

pourvu que la variable x toit comprise entre +2 et — 2 (eiclusivcment).

Si, par exemple, on suppose a;=l, on a

Séria* réenrrentef.