CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

124. ■ Thëokèiie XXVI, Toute fraction rationnelle ^ est iévelop-

f (XJ

pable suivant une série récurrente, dont l'ordre est égal au degré de

Démonstration. 1° Si l’on décompose en fractions simples, on

pourra développer chacune d'elles en série convergente (**). D’ailleurs, la somme de plusieurs séries convergentes est encore une série convergente (“*) ; donc la fraction proposée est développable en une série convergente de la forme (1) (”**).

2° Cela posé, de

on conclut

puis, en supposant

et en identifiant les deux membres :

pour n>k; etc. ( ).

(*) Il est sou8>en(endu que li fraction est IrrèducliMc; que le degré do dénominateur surpasse celui du numérateur; qu'aucun des deus termes n'est dirisible par x; etc.

(**) Les fractions de la forme produisent des progressions par quotient; les

antres se développent par la formule du blnSme (lil).

("') Pour démontrer rigoureusement cette proposition, il suffirait de considérer <n restes des premières séries.

(*“*) Tout ceci suppose, bien entendu, que x est compris dans dens limites convenables.

(*'*") On voit que nous traitons la série convergente conlenua dans le second membre de réquation (S) comme un véritable poljnéme. Pour légitimer complètement cette manière d'agir, on pourrait poser

Ç^=A,-4-A,aH"A,œS-

F(aî)

en représentant par une fimctim qui ne devient pas infinie pour x=0 : ceci ré-

sulte du fait de la division de Rx) par F(x).

125. Thbobémb XXVH. Réciproquement, toute série récurrente convergente, de la forme (1), a potur limite une fraction rationnelle

dans laquelle représente la somme des k premiers termes de la série. Démonstration. En faisont, dans l'équation (2),

n = k, n = fe-l-l, n = fc+2, n =

on obtient

A» X* +Aà,X*“' +A, .a*X*=0,

At+î®*-^’+A»+,X*+' .a,X+ -t-A,X*.a»X*=0.

AjM.,a5*^-+-A*+,X*+'*‘.a,x4- 4- A, x'. a*X*= 0.

Ces égalités donnent

(Sn^/+, — Sj) 4- (S*+j — S/t|)« , x4" 4- S/^., . «»**= 0 ;

puis, comme les sommes S*+|, S,^, ont, par hypothèse.

une même limite S :

,, Sft- St-i . »|J+ 4

ApplioatÎM*»