PaoBLËHE IV. Développer puts

sanees de x.

Solution, Le développement commence parl+cos9. D’ailleurs, l’écbelle de relation étant

A„ — 2A,,cos0-hA,^j=O, on

A|| — Aji — 1 2 cos A„ 2 .

il en résulte qu’un terme quelconque du développement cherché est égal à la somme des deux termes qui le précèdent, respectivement multipliés par 2cos0 et par ( — 1). D'après les Formules de Thomas Simpson, les cosinus des multiples de 9 procèdent précisément suivant cette loi. Donc, à cause de

A,= l, A,= cos9,

nous aurons

A,=cos20, A,=cos39, A,=cosn9,

et, par conséquent,

j-^^^^=1+xcos94-®*cos29+x’cos39+ -|-x"cos n9+

pour les valeurs de x comprises entre — 1 e( +1 (exclusivement).

, 13‘2. Remarque. Si, dans la dernière Formule, on suppose x=cos9,

on trouve cette relation assez remarquable :

co829+cos6cos39H-cos’9cos49+ -i-cos""'9cos(iH-l)fl4- = — 1 {*").

(') CepeDdanl, si l'on appelle a , 6, o les Irais nciaes de ceUe équation , on irauve, par un calcul que nous supprimons ;

An—— — - O*- So-)-l

l6+a le-l-3

(‘*] Klle est en déraul lorsque cosl=dbi (SI).

133. PaoBLÈMS V. Trouver la fraction génératrice de la eérie ré~ currenle

1 — x+x' — 2x’+5x* — iix‘+23x‘ — 48æ’4- JOIæ* —

dans laquelle

Solution. Celte fraction a la forme (*).

D’ailleurs, si l’on multiplie par l-|-2a: — æ* les premiers termes de la série, et qu’on identiGe le résultat avec a 6x4- ex’ 4- (f*’, on obtient

Par conséquent, pour des valeurs de x suffisammenl petites (**),