CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

134 . Pboblème VI. Reconnailre »' une tirit eet récurrente. Solution. Supposons que, dans la série proposée :

A,+A,iE-4-A,x*+ H- A,®"+ (1)

le coefficient soit une fonction donnée de n ('), savoir :

AB=?(n)- (2)

Si la série est récurrente, elle a pour somme une fraction inconnue

F(x) .^1 (6 — x)' (c — x)i •»! îg—xy'

en supposant

Si les diverses fractions simples

B' Cj G^

{b—x)'' (c— xp* {g—xY'

étaient données, on pourrait les développer par la formule du binôme, et l’on aurait, par exemple.

B- I I (i-Hi-i) j-

Mais, par la théorie des combinaisons,

donc le coefficient de r > dans y*' .. ^ a pour valeur 6" (o — X/ '

B, , B, n+1 , B, (n+1 ) (B-t-2) ^ By(n-H)(n+2) (ts j - p — 1)

6"^6*' 1 ■*"6* 1.2 ■^6i> 1.2 ip—i) '

c’est-à-dire un« fonction entière de n, dont le degré ne surpaste pas

D’un autre côté, une fonction entière de n, du degré (p — 1), est toujours décomposable suivant la forme (3), c’est-à-dire que, ij;(n)

0 CeUo manière d’enlenarc la qnntion est la seule qni nous paraisse admissible.

étant cette fonction, on peut déterminer les coefficients B,, B,, Bp

de manière à avoir, identiquement,

B. . B. iH-1 Bp (tH-l)(»H-2) (n+p— I) — . , ,

^ i.i (p-1) — TW V V/

Par snite, pour que la séria (1) soit réettrrenle, il faut et il suffit que

Von ait

B6-" 4- Ce-" + + Gg~”,

b, c, g étant des constantes, et B, C, G étant des fonctions

antiéras de n (**).