CHAPITRE V. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

Reoberofae do déTcloppement d’one fonotioD, au mojen do développement de la fonction dérivée.

136. THÉORÈ.VE XXVIII. St, pour toutes Us valeurs de x comprises entre 0 et une quantité positive A (ioclusivement) (’), on a

on aura aussi

F(x)=F(0)+A.x+iA,x*+ÎA,®’-t- (2)

pour les mêmes valeurs de x.

Démonstration. La série (1) est supposée convergente, c’est-à-dire que

F'(x)=A,-+-A,x + A,x*-+- -fA„x'-'+R„. (3)

R„ représentant une fonction qui tend vers zéro, lorsque n croit indéfiniment, et que x est compris entre 0 et A.

Si l’on prend les fonctions primitives des deux membres, on aura donc

F(x)=F(0)+A,x4-5A,x’+jA,x’-f -|-iA„x"-+-?(x,n), (4)

en désignant par 9 >(x,n) une fonction qui a pour dérivée R„ , et qui s’annule avec x (*‘).

Cela posé, cette fonction peut être regardée comme représentant l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe qui a pour ordonnée R„, l’axe des ordonnées et une ordonnée quelconque, répondant à une valeur de x inférieure ou égale à A. Or, l'ordonnée R„ a pour limite zéro ; donc ^ (x,n) converge aussi vers zéro.

137. Remarques. I. Le théorème subsiste lorsque la série (1), convergente pour x< A, devient divergente quand x=A, pourvu que

(*) On pourrait remplacer icro etx par deux limiter quclconi|ucs; mais l'équation (S) deviendrait un peu plus compliquée. Du reste, le cas général se réduit aisément au cas particulier.

(■■) Cette fonction tf existe, car elle est la différence entre F(®) et le polynOme qui la précède.

TRAITÉ ÉLÉHENI'AIRR DEA SÉRIES.

la série (2) soit encore convergente pour cette valeur de x. En eiïet, les deux membres de la formule (2) sont des fonctions continuas, constamment égales; donc leurs limites, répondant à x=X, sont égales entre elles.

II. Ce même théorème permet de développer cti série toute fonction dont la dérivée eU algébrique, beaucoup plus simplement qu'on tié le pourrait faire par l’spplication du théorème de Mac-Laurin (120). Les exemples suivants vont justiGer cette assertion.

ApplioatiofU.