SOMMATION DES SÉRIES

liîO. Nous avons indiqué précédemment (Chap. III) plusieurs procédés très-simples, et pour ainsi dire purement arithmétiques, qui permettent de sommer certaines séries. Nous allons exposer actuellement, autant que le comporte la nature de cet ouvrage, quelques-unes des méthodes générales que les géomètres ont imaginées, dans le dessein de résoudre le problème de la sommation des séries. Dans ce chapitre, nous serons obligé d’employer la notation infinitésimale, ce que nous avons évité jusqu’ici (').

n Voici, pour les jeunes lecteurs qui n’ont pas en main un Traité de Calcul inléfral, les priacipes de cette notation :

|o Si ÿ=f[x)^ se représente

ao La partie principale de 6y, c'est-à*dire est appelée la différenlieüe de y : on la représente par dy;

Lorsque 2 := y, S 9 —^x=ây; en sorte que la difTérentieHe de la fonction se réduit alors fl l’acrroisscment de la variable indépendante : pour cette raison, ce dernier accroissement fsl ^Muiéralemeni représenté par dx;

A» Conséquemment , le rapport des différentielles de y et de x, c'est-à-dire dy : dr ,

dy dy

égale y' ou -r* (!“)♦ Autrement dit, dy=-—-dx; dx dx

5 » F(x) élaiu la fonction primitive la plus générale de f[x), on écrit F{x)—f f{x)dx+C : le signe f, initiale du mot somme, s'énonce somme de ou intégrale de. D'ailleurs, l'adjonclion rte la ronstanle arbitraire C montre que ff{x)dx est une intégrale indé^iiie, ou la fonction primitive ?(a;] que l'on obtient en renversant les régies du calcul des dérivées;

6» Si F{x) doit s'annuler pourx=a, on a F(x)=ç(a!) — 9{n)=J’ f{x]dx: a est la limite inférieure de l'intégrale;

7» L'expression f ^x)dx=ç{t)—ç(a)=F(6) s’appelle une intégrale indéfinie : eWe

est évidemment indépcndanle de x, si a et b en sont indépendantes;

8» L’équaiion Judv—uv— f odu, que l'on vérilic en différentianl les deux membres, constitue le principe de l'inlégraiion par partie.