CHAPITRE VI. — .SOMMATION OES SÉRIES

Solution. Cetto i-quation donne d'abord

dx i i.i

pais

fldy=x+ 1

f*-dÿ=X+Xÿ;

oa encore, en différenciant les deux membres, ^dtf=(l + ÿ)dx+xdy.

Si l’on écrit ainsi cette équation différentielle :

<fy xdx

on voit qu’elle a pour intégrale :

d’où l’on conclut :

Ce résultat est évident par la formule du binéme (’). 175. Problème XVIII. Sommer la série

tn(m— t) , m(m — l)(m — 2)

Solution. En opérant comme dans le Problème XVII, on trouve successivement :

<te 1 1.2 ®

(•) Le terme général de la série (I) a la forme **+> considérée

cl-dessns (165). Mais on soit qn'en faisant disparaître les facteurs a+tib, on re-

lombo sur le |>oint de départ. C'est pourquoi nous avons placé cet uscinpie dans les ap> plicaüonsde la seconde méthode. La même remarque est applicable au problème suivant, généralisalioii de celui-ci. *

TRAITÉ FXÉMEPrrAIRE DES SÉRIES.

I x“'* (••) “'rfy= — x ~"' — y i — '

J x~'"~'dy = yx~”.

X i(jy — myx~”'~'dx ,

fly tlx

— — ItX m" ~ »

ly = ml[i + x)i

et enfin

ün a ainsi une nouvelle deraonstration de la formule du binAme. 174. PnoBLÉME XIX. Sommer la série

(<H-IHo+ï,'(n + 5)

Solulion. Le procédé suivi plusieurs fois donne \yr^)'j. I t . 1.2 1.25

■dx=alx+x-h x'+

^ “•^^*^a+r^(o+lXa+2)

ou encore

J '^^dx=ttlx + xy.

Si l'on compare celle équation (2) à l'^^nalion générale du premier ordre et du premier degré :

dont rinté"rale est

(*) Cl* prublPme, gpnt‘nli«<tion >l'iin lia oüix que nous avoos n'mlus ilana le cbapilre III (S8). écLappe rncoreA la imimioru mt'lliotie (I7i, note).

(••) Si l’on iniiltiplie les deux membre.^ de réi|iialiau (3) (lar le premier membre iluvieul la dérivée exacte do On a donc

OU fQflrf : etc.