Problème XXI. Sommer les deux séries

y = 05 COS<p + i X* cos 2(p + J cos 3(f+ a=X8iny4-|x’sin2(fi + ^x*sin '3rf + .

Solution. On a, d’après la formule de Hoivre,

y +sl/— 1 = xaVW'-i + 1 xVv^'- + 1 xVî^^‘+ ;

et, en prenant les dérivées par rapport à x,

y’+ay=ï = 4 - le’îv/'- • 4

Par conséquent,

y+s/ — 1= — /[I — x(cosç4'l^ — 1 S19 y)]!

e“*'(cosz — P' — lsinr)=l — x(co.sip 4 l/ — Isiniy). ( 4 )

Cette équation se partage en ces deux-ci ;

«-vcosz=l — xcosif, e~''sins=xsin(p; d’où l’on conclut

lg;= ■ e~*»=l — 2xcosç4-x’;

c’est-à-dire

s=:arc y=— ^/(l— 2xcos(p4x’)C). (5)

180. Remarques. 1. Si l’on change 9 en ^ — 9 dans les séries (1), ( 2 ) et dans les formules (4), (5), on obtient

('] Ces résulUls remarquables sont dus, je cruis, à M. Lobalto [Ktcherches sur ta sommation dt quelque! séries trigonométriques, DvIU, 18X7).

aUl’lTUE VI. -SOMMATION DES SÉRIES, xsin ç — |X*cosiJ9 — jx’sin 3ç+'X*cos4®-Hgj:‘sin59 — ... = — i/(l — 2x»in (p+x’j,

X cos ^ |x* sin 2(f — g cos 3ç — ^x* si n 4(p -h g x‘ cos 5ç+ . . .

X COSÇ

puis , par le changement de x en — x :

X sin y+^x* cos 2<f — g x’sin Sip — ^ x* cos g x* sin 5ip+ . . . .

= jl(H-2xsin<p4-x‘),

X cos 9 — I X* si n 2<f — g x’ cos 3ç + x‘ si n 4(j>-l- g x* cos 5ip — . . . .

XCOS O

= arc Ig .

° iH-xsin <f

Ces quatre dernières relations, combinées deux à deux, donnent

1 , . , i , . , 1 l + axsinoH-x*

xsinç— gx sin 39 +gx sino-p— = i‘i 2 ^si„ç::p 7 *»

1 , „ lie 1 . tocoso

XCOS 9 — g x’cos3(jp +gX'cos59 — =5 arc tg ;

puis, par le changement de 9 en 3 — 9 :

1 , , 1 I - , t l+2xcosif-f-x*

xco89+gx*cos39+gx*coso9-l-

X8in9-f-rarsin 39+gX sin 59 + = 5arctg •