Application. La série

est convergente ou divergente, suivant que x est, en valeur absolue, inférieur ou supérieur à l’unité (*).

On a effectivement

lim\/u n =x.

18. Théorème Vil. Si les termes décroissent indéfiniment, et qu'ils soient alternativement positifs et négatifs, la série est convergente . Démonstration. Soit la série

Ml — «!+ «»--«* + U n 4-U, 1+1 —

dans laquelle nous supposons

et, en outre,

lim u„ = 0.

(*) On suppose a positif, on au moins négatif non entier.

("*) Si les premiers termes ne satisfaisaient pas à ces rondilions, on représenterait par u, le terme à partir duquel, la série devenant régulière, elles sont vérifiées. Par exemple, dans le cas de la série

citée plus haut (5), on ferait

10 1 » 10 » 10 u, “ i.i.3...io’ ITsTâtTrrïï ' 1 1“*’

“ s= TT7Tï“'

etc.

Si, pour fixer les idées, nous supposons n pair, nous aurons : S,=«i,

Ainsi, les sommes de rang impair vont en diminuant, et les autres vont en augmentant. D'ailleurs, la différence

a pour limite zéro ; donc ces diverses sommes ont une limite commune S, comprise entre deux sommes consécutives quelconques.

19. Remarques. I. Si les termes, alternativement positifs et négatifs, et décroissants, tendaient vers une limite X différente de zéro, la série serait indéterminée. En effet, les sommes S,, S s , S s , ... S„, iraient encore en diminuant, et les sommes S,, S 4 , ..., S„, respectivement moindres que les premières, iraient encore en augmentant ; en sorte que les unes et les autres auraient des limites. Mais, à cause de lim u n — lim (S„, — S„)=X,

on aurait — lim S„ = X.

Ainsi, la limite des sommes de rang impair serait égale à la limite des sommes de rang pair, augmentée de X (*).

(*) Soit la série

2n în+1 2 n — 1 2n~

Um u„~ 1.

„ /a 3\ li 5\ / 2»

lim S„ = 12.