CHAPITRE H. — THÉORÈMES SDR LA CONVERGENCE

20. Théorème VIII. Les mêmes choses étant posées que dans le Théorème VII, l’erreur £ que Ton commet en prenant la somme S n , au lieu de sa limite S, est inférieure au terme u n+ , qui suit celui auquel on s'arrête.

Démonstration. 1° Si n est pair, on a S n <S<S„ +i ;

d’où S — S„< S M+ , — S, ,

c’est-à-dire e <u n+ , .

2° n étant impair, on a

puis S„ — S < S„ — S„ +1 ;

et enfin

21. Remarque. L’erreur e, prise positivement ou négativement, suivant que n est pair ou impair, est égale au reste R n de la série.

22. Théorème IX. Une série composée de termes positifs et de termes négatifs est convergente si les groupes successifs, formés par des termes de même signe , diminuent indéfiniment.

Démonstration. Supposons que la série se compose d'un certain nombre de termes positifs, suivis d’un certain nombre de termes négatifs, suivis, à leur tour, d’un certain nombre de termes positifs, etc. Représentons par </, la somme des termes formant le premier groupe, par — g t la somme des termes formant le deuxième groupe, etc. Le terme général u„ appartient à un certain groupe </,; par conséquent,

la somme S„ est comprise entre

9i—9x+g 3 — ±ïi- 1

et 9i— 9t+9i— ±9i-iT9i-

D’un autre côté,

S 13 /5 tiv / Sn-1 ïnt

*~ 1— ï U 3/ “l* 5/ Isn-s in— il

= S L*^3 + *l + + (S»-ï)(Sb-1)]

~ Lâ 3 ' ï + in-i în—

donc lim S»|= S — (1— I S) ,

ou lim S„i = I + lim S».

D après le Théorème VH, ces deux sommes ont une limite commune S. Donc aussi

lim S n =S.