Théorème. Soit une série convergente

S=U, Mj-f-U, + (1)

dont les termes, alternativement positifs et négatifs, décroissent indéfiniment. Si l’on fait

(•) Non contents tic résoudre ce problème, plusieurs géomètres ont prétendu transformer certaines séries divergentes en séries convergentes. Nous croyons que cet énoncé est un non-sens.

(**) Tracts on mathematical and phitosophical subjects, 1. 1, p. 1T0 (1812).

('") Elle aété reproduite par M. Poncelet, dans son Mémoire sur T application de la méthode des moyennes ( Journal de Crelle, l. XIII.)

U, Wj = Am,(‘), tt, — Uj = dw t , « 3 — «4 = Au,,

Au,— Au s =A’u,, Au,— Au,=r A’u. , Au,— Au v = A’u„

et que l’on suppose

Au 1 >Am s >Au,>

A’«i>A*Mj> A’u,>

on aura

*=^« 1 +jAM 1 4-^A , M 1 +^A’u 1 + iA 4 tt 1 +

Démonstration. On a, d’après l’équation (i) :

c’est-à-dire

2s=u, -I- Au, — Au, Au, — Au,-f- ; (2)

ainsi les différences premières, prises alternativement avec le signe -jet avec le signe — , forment me série convergente.

La transformation précédente, appliquée à l’équation (2), donne

4s= 2u, 4- Am, -+- A*u, — A’u,-f- A’u,— (3)

puis

8s=4u,4-2Au, 4- A 2 u,+A 3 u,— AX+A’ ü,— , (4)

i6s=8u,4-4Au 1 -t-2A’u,-|-A’u,-f- A*u, — A* m s 4- (5)

Actuellement, en vertu des hypothèses précédentes et des équations (2), (3), (4), on a

l il

*>2 U n i < C.^u t -+.-Au 1 ,

s >|Mi+jAm,, *<|m,-I- j Am,+ jA*M lf

i >§«l + jAM 1 -f-gA ï M 1 , S<^U 1 + jAM, + iA , M, + gA s « t ,

(*) Afin que tomes les différences soient positives, on fait les soustractions dans un ordre contraire à celui qui est généralement adopté.