Problème XXXI. Transformer la série

Solution. On a

Au, = -, Au,=— ,

Donc

^ r2 + 0 + 3T8^ 4TÎ6 - ^"sr32 - *"

(') Nous laissons au lecteur le soin de la démontrer.

CHAPITRE VII. — TRANSFORMATIONS DE SÉRIES. 125 205 . Problème XXXII. Transformer la série

i-Hc ' *

en d'autres qui soient plus convergentes.

1° Le calcul précédent conduit à

2° Si x surpasse 1, le même calcul, appliqué à la série (11), donne

3° Semblablement, si x surpasse 3, on peut remplacer la série (12) par

et ainsi de suite.

204 . Remarques. I. Les limites de convergence, pour les séries (10), (11), (12), (13), sont, respectivement :

II. Supposons, dans les deux premières séries, x= 2 : la série (10) deviendra divergente, et il serait absurde de prétendre, comme l’ont fait plusieurs géomètres, qu’elle est encore équivalente à son premier membre, ou que l’on a

Néanmoins, l’équation (11), déduite de la série (10) quand celle-ci était convergente, subsiste encore. En effet,

Ainsi, une série convergente (B),' déduite d’une série convergente (A), obtenue en développant me fonction F(x), peut, dans certains cas, représenter encore F(x), après que la série (A) est devenue divergente (').

(•) C’est probablement là ce qu’ont voulu exprimer les auteurs qui se sont occupés de la transformation des séries divergentes en séries convergentes (197, première noie).

III. Si, dans les séries (11) et (12), on suppose x compris entre — 1 et +1, les termes de la première série deviennent tous positifs. Il n'est donc pas toujours nécessaire, pour l’ application de la méthode de Hutlon, que les termes de la série proposée soient, alternativement, positifs et négatifs. Il est vrai que, la série transformée pouvant être moins convergente que la série primitive, la transformation n’olfre plus d'utilité (*).

IV. Pour une même valeur de x, comprise entre = et 1, les séries

(11), (12), (13), sont de moins en moins convergentes; mais elles

le sont plus que la série proposée (10). Par exemple, te = - donne les

résultats suivants :

il* / 1 \ 3