Lemmks

C0S x±|^ — 1 sinx(**).

cos x= J , sm x= —

3° cos (xŸ' — 1)='

sin

207. Problème XXXIII. Développer, suivant les sinus et les cosinus des multiples de w, la fraction

Solution. La formule

trouvée en supposant x*<l, subsiste quand x devient imaginaire, mais que son module est inférieur à l’unité (***). Par conséquent, pour toute valeur du module p, moindre que l’unité, on a

i -^=l+ pe -^ +p V-<^+ P V-^+

OU

ÏZ“^=2 0 P"( cosnol + ^ — Isinrka). (1)

208. La formule (1) serait à peu près inutile, si nous ne mettions son premier membre sous la forme A+BI^ — 1. Or,

* 1 — pe—V-ï 1 — pfcosw — V — lsinu)

\ — P e“V/-i n ? ( r v^ +e -»V/^ï)-f- p» 1 — 2? cos <o+ f ’ ’

(■) MM. Briot et Bouquet ont publié récemment, dans le Journal de l'École polytechnique, un mémoire intitulé : Étude des fonctions d’une variable imaginaire. Nous regrettons que l'exiguïté du cadre daus lequel nous avons dft nous renfermer nous ait empêché de rien emprunter à ce beau travail (septembre 1858).

(*‘) Nous rappelons que ce lemme, dont les autres sont des conséquences immédiates, renferme la formule de Ho ivre (1 H).

(*■■) C’est ce qu’il est facile de démontrer.

donc

i-^+ T-= 1+ P C08 0,+ p’ cos 2 w+ p’ cos3w + ( A )

î Æ^= pS in t o+p 1 sin2a J -hp , sin3 w + (B)

Ces formules ne diffèrent pas de celles que nous avons trouvées dans le Chapitre VI (Probl. XXIII), par un procédé beaucoup moins simple que celui-ci.