Problème XXXIV. Développer la fonction e

Solution. Si, dans la formule (E) du n° 112 :

on remplace x par pe“' / ~ i =p(cosM+l^ — lsin&>), on trouve

gf ( co>m+v/-i »in “)— i ^ -- (cosnw+l^ — 1 sin n«). (2)

Mais

«+V/-T «in o) jf co»o gf\/— î tin gP C0S w £ CO s (p sin ro) 4f^ — 1 sin (psin 0 ))]; donc la formule (2) se partage en

e? co8 “ cos (p sin oj) = 1 - 4 - 1 cos w + ^cos 2co + cos 3o> 4 , (C)

eP C0, “sin (psin<a)= ^sin«-I-^sin26>+q-^sin 3<o-+- (D)

210. Remarques. I. Dans ces équations, le module p peut être quelconque , parce que les séries (B) , (C) sont toujours convergentes (49). Si l’on remplace p par j/ — 1 (*), le premier membre de la formule (C) devient

_____ £»lnw| g— sin •>

e' / — cos “ cos(/— 1 sin w )= [cos (cos < 0 ) 44 — 1 sin (cos w)) ^ ;

donc

|(e !in “ 4e -,in “) cos (cos w)=l sin (cosu)=

cos 2» , cos4« lT2" + l. 2.3.4

COS w COS 3w __

cos 6» ,

COSÎKÜ

(") Celle hypothèse esl en contradiction avec la définition même du module. Néanmoins, les résultats auxquels nous allons arriver sont exacts, ainsi que 1 on peut s en assurer par une vérification à posteriori.