CHAPITRE II. — THÉORÈMES SDR LA CONVERGENCE

Ces deux inégalités, qui deviennent évidentes au moyen d’une figure, peuvent aussi se démontrer comme il suit :

Soient

(f(h)=f[x+h)—f[x)—hf{x), ÿ(h)=f(x)—f{x — A) — hf(x)\

d’où

D’après la seconde hypothèse,

La fonction <p(A), ayant une dérivée négative, est décroissante. D’ailleurs, elle s'annule avec A; donc, etc.

20. Lemme II. Soit f(x) une fonction positive et indéfiniment décroissante, du moins à partir de x = a — 1; soit F(x) la fonction primitive de f(x). On a

Les inégalités (1) et (2) donnent

f(x-\-nh) — f[x) <.h[f(x)+f(x+h) 4- 4-f(a:4-n— lù)],

Remplaçant f par F, f par f, x par a, et A par 1, on a les inégalités (3), (4).

27. Remarques. I. Ce second lemme est évident à l'inspection de la figure ci-contre (*).

(") Cette méthode très-simple a été employée i>ar M. L. Olivier [Journal de CreUe, t. 11).

II. Si F(x) devient infinie pour x = a — 1, on remplace l’inégalité (4) par celle-ci :

qui équivaut à

28. Théorème XI (Théorème de Cauchy). Si f(i) est une fonction positive et indéfiniment décroissante , la série

est convergente ou divergente en même temps que la fonction primitive F(x) (*).

Ce théorème est évidemment contenu dans le Lemme II.