PRÉLIMINAIRES

1. Définition. On appelle série une suite indéfinie de termes procédant suivant une loi déterminée.

D’après cette définition, l’on doit toujours pouvoir calculer un terme de rang donné, soit directement, soit au moyen des termes qui le précèdent (*). Autrement dit, si les termes d’une série sont désignés par

le terme général u n est fonction de n.

2. Diverses espèces de séries. Désignons par S„ la somme des n premiers termes d’une série, savoir :

Cette somme, aussi bien que u„, est une fonction de n. Cela posé, trois cas peuvent se présenter :

1° Si la somme S„ des n premiers termes tend vers une limite finie et déterminée S, lorsque le nombre n croît indéfiniment, la série est dite convergente;

2° Dans le cas contraire, c’est-à-dire quand la somme S„ peut

(') Par exemple, le vingt-neuvième terme de la progression 3, 7, 11, 15,

peut être obtenu, soit directement, au moyen de la formule u„ = 3-)-*(n— I), soit par des additions successives.

croître (en valeur absolue) au delà de toute limite, on dit que la série est divergente ;

3° Enfin, s’il arrive que la somme S„ , sans croître au delà de toute limite, n’ait pas de limite déterminée, la série n’est ni convergente ni divergente : on peut lui donner le nom de série indéterminée (*).

3. D’après ces définitions, une progression par quotient, illimitée et décroissante, est une série convergente ; une progression par quotient, illimitée et croissante, est une série divergente; enfin la progression

+1, — 1» +1» — “t~li •••>

dout le terme général est ( — l)" -1 , constitue une série indéterminée; car S, , égale 1 ou 0, suivant que n est impair ou pair.

4. Les séries convergentes sont les seules qu'il soit utile de considérer, parce que les autres séries ne peuvent représenter aucune quantité (**). Il est donc nécessaire de savoir reconnaître si une série proposée est convergente ou non convergente. C’est à quoi l’on parviendra, presque toujours, en appliquant les règles démontrées dans le chapitre suivant.

(*) La plupart des auteurs font rentrer celle troisième espèce de série dans la catégorie des séries divergentes. Cette classification nous parait contraire à l'étymolugie et à la signification habituelle du mol divergent. La dénoiniualion de série indéterminée a été proposée par M. L. Olivier {Journal de CreUe, t. II).

(**) Il y a plus; les expressions : limite d'une série, somme d’une série, n’ont évidemment aucun sens, lorsque la série n'est pas convergente. On peut donc s’étonner que de savants géomètres aient énoncé les propositions suivantes :

1— 1-4- 1 — 1+1— 14- (Lacroix, Calcul intégral, l. 111, p. 346) ;

I— 2+3— 4-+-5— 6-1- =j(/4id.);

1-1. 2+1. 2. 3— 1.2.3.4-i- ... . =0, 40362836 (Ibid., p. 390);

cos f — cos 2Ç+C0S 39— cos 4ç+ = - (Poisson, Journal de l'École polytechnique,

2 t, XI, p. 313);

1—1+1— 1+1 — 1+ =- (Prehn, J. de CreUe, t. XLI);

42— 22+3*— 424-52—6*4- =0 (Siiuonof, Mémoire sur les séries des nombres

aux puissances harmoniques); •

etc.